在几何拓扑学的数学领域中，庞加莱猜想（英国：，美国：，法语：[pwkae]），或佩雷尔曼定理，是关于表征 3 球面的定理，即包围单位球的超球面在四维空间。

该定理最初由 Henri Poincar 在 1904 年提出，涉及局部看起来像普通 3 维空间但范围有限的空间。 Poincar 假设，如果这样的空间具有额外的属性，即空间中的每个环都可以连续收紧到一个点，那么它必然是一个三维球体。解决这个猜想的尝试推动了 20 世纪几何拓扑学领域的巨大进步。

最终证明建立在 Richard S. Hamilton 使用 Ricci 流试图解决问题的程序之上。通过在 Ricci 流理论中开发一些新技术和成果，Grigori Perelman 能够修改和完成汉密尔顿的程序。在 2002 年和 2003 年发布的未发表的 arXiv 预印本中，Perelman 展示了他证明 Poincar 猜想的工作，以及更强大的 William Thurston 几何化猜想。在接下来的几年里，几位数学家研究了他的论文并详细阐述了他的工作。

汉密尔顿和佩雷尔曼关于猜想的工作被广泛认为是数学研究的里程碑。汉密尔顿因对研究的开创性贡献而获得了邵逸夫奖和 Leroy P. Steele 奖。 《科学》杂志将佩雷尔曼对庞加莱猜想的证明标记为 2006 年的科学突破。克莱数学研究所将庞加莱猜想列入其著名的千年奖问题清单，为佩雷尔曼提供了 100 万美元的奖金。猜想的分辨率。他拒绝了这个奖项，说汉密尔顿的贡献与他自己的一样。

Grigori Yakovlevich Perelman（俄语：ГригорийковлевичПерельман，IPA：[ɡrʲɪɡorʲɪjJakəvlʲɪvětɕPʲɪrʲɪlʲman]（聆听）; 1966年6月13日出生）是他对几何分析，黎曼几何和几何拓扑领域的贡献而闻名的俄罗斯数学家。

在 1990 年代，部分与 Yuri Burago、Mikhael Gromov 和 Anton Petrunin 合作，他对 Alexandrov 空间的研究做出了有影响力的贡献。 1994年，他证明了黎曼几何中的灵魂猜想，这在过去的20年里一直是一个悬而未决的问题。在 2002 年和 2003 年，他开发了分析 Ricci 流的新技术，从而为 Poincaré 猜想和 Thurston 几何化猜想的证明提供了详细的草图，前者是上个世纪数学界著名的开放性问题。在接下来的几年里，多位作者填写并解释了佩雷尔曼作品的全部细节。

2006 年 8 月，佩雷尔曼因“对几何学的贡献以及对利玛窦流的分析和几何结构的革命性见解”而获得菲尔兹奖，但他拒绝了该奖项，并表示：“我对金钱或名誉不感兴趣; 我不想像动物园里的动物一样被展出。” 2006 年 12 月 22 日，科学杂志《科学》将佩雷尔曼对庞加莱猜想的证明评为科学“年度突破”，这是数学领域的第一个此类认可。2010 年 3 月 18 日，宣布他符合标准因解决庞加莱猜想而获得第一个克莱千年奖。 2010 年 7 月 1 日，他拒绝了 100 万美元的奖金，称他认为克莱研究所董事会的决定不公平，因为他对解决庞加莱猜想的贡献不比理查德·S·汉密尔顿大，开创利玛窦流的数学家部分是为了攻击猜想。他此前曾在 1996 年拒绝了欧洲数学会的著名奖项。